Achter elke opgave staat tussen haakjes bij welke paragraaf deze hoort.
Uitleg uitwerking:
Vergelijk per opgave zorgvuldig jouw antwoord met de juiste uitwerking.
Kennis
1)
Beantwoord de volgende vragen.
We kijken naar twee driehoeken waarvan twee paren hoeken gelijk zijn. Zijn de driehoeken dan gelijkvormig? Leg je antwoord uit. (2.1)
Wat is de verhouding van de zijden van een rechthoekige gelijkbenige driehoek? (2.2)
Bekijk driehoek ABC. Waar is tan∠B aan gelijk? (2.3)
Waar staat SOS CAS TOA voor? Leg uit. (2.3)
Wat is het verschil tussen hellingshoek en hellingspercentage? (2.5)
Uitwerking:
Ja, want de hoekensom van een driehoek is altijd hetzelfde, namelijk 180 graden. Daarom moet de derde hoek, als de eerste twee hoeken gelijk zijn, ook altijd gelijk zijn.
Kijk bijvoorbeeld naar onderstaande twee driehoeken. Als $\angle A = \angle D = 30 \degree$, en $\angle B = \angle E = 90 \degree$, dan moet ook $\angle C = \angle F = 180 - 90 - 30 = 60 \degree$ zijn. Dit is gelijkvormigheidskenmerk hh.
$1:1:\sqrt{2}$ (dit is de 45-45-90-driehoek).
De tangens geeft de verhouding tussen de overstaande rechthoekszijde (de “hoogte” van de driehoek) en de aanliggende rechthoekszijde (de horizontale “afstand”), dus: $\tan \angle B = \frac{AC}{AB}$.
SOS betekent Sinus = $\frac{overstaande \ rechthoekszijde}{schuine \ zijde}$.
CAS betekent Cosinus = $\frac{aanliggende \ rechthoekszijde}{schuine \ zijde}$.
TAN betekent Tangens = $\frac{overstaande \ rechthoekszijde}{ aanliggende \ rechthoekszijde }$.
De hellingshoek is de hoek van een helling met een horizontale lijn in graden.
Het hellingspercentage is de verhouding tussen de horizontale en verticale afstand, uitgedrukt in procenten.
Begrip
2)
Gegeven is de driehoek $ABC$ met $AB=12$, $BC=16$ en $AC=20$. Bereken $BD$. (2.1 en 2.2)
Uitwerking:
We zien dat $\triangle ABC \backsim \triangle ADB$, want:
$\angle A = \angle A$ (zelfde hoek)
$\angle B = \angle D = 90 \degree$.
Dus $\triangle ABC \backsim \triangle ADB$ (hh).
Dan zijn de verhoudingen van de zijden gelijk:
Kruislings vermenigvuldigen geeft: $20 \cdot BD = 12 \cdot 16 = 192$.
Dus $BD = \frac{192}{16} = 9,6$.
3)
Zie figuur. Bereken $\angle A$. (2.3)
Uitwerking:
De aanliggende rechthoekszijde en de overstaande rechthoekszijde zijn gegeven, dus gebruik de tangens (TOA).
$\tan(\angle A) = \frac{overstaand}{aanliggend} = \frac{2}{6} = 0,333…$
Dus $\angle A = \tan^{-1}(0,33…) \approx 18,4 \degree$.
4)
Zie figuur. Bereken AC. Geef je antwoord zo nodig in twee decimalen nauwkeurig. (2.3)
Uitwerking:
De aanliggende rechthoekszijde is gegeven, de schuine zijde is gevraagd. Gebruik de cosinus (CAS).
$\cos(\angle A) = \frac{aanliggend}{schuin} = \frac{6}{AC}$.
$\angle A = 34 \degree$, dus $AC = \frac{6}{cos34} \approx 7,24$.
Toepassen
5)
Gegeven is rechthoek ABCD met punt E op CD zo dat CE=3. Diagonaal AC snijdt lijn BE in punt S, waarbij de hoeken bij S 90° zijn. ∠BAC=30° en ∠ABS=60°. (2.1 en 2.2)
Bereken BS.
Bereken de oppervlakte van ABCD.
Uitwerking:
Stel eerst vast dat er een aantal gelijkvormige driehoeken zijn, en dat deze ook nog $30\degree - 60\degree - 90\degree$-driehoeken zijn. Zo geldt dit voor de volgende driehoeken:
$\triangle ABC$ heeft $\angle BAC=30\degree$ (gegeven), $\angle ABC = 90\degree$ (rechthoek) en dus is $\angle BCA = 180\degree - 90 \degree - 30\degree = 60\degree$.
$\triangle ECB$ heeft $\angle BCE= 90 \degree$ (rechthoek), $\angle CBE = 90\degree - 60\degree = 30\degree$ en dus is $\angle BEC = 60\degree$.
$\triangle BCS$ heeft $\angle BSC = 90\degree$ (gegeven), $\angle CBS = \angle CBE = 30 \degree$ en dus $\angle BCS = 60\degree$.
Deze driehoeken hebben zijden die zich verhouden als $1:\sqrt{3}:2$.
Dus in $\triangle BCE$ geldt:
Nu kijken we in $\triangle BCS$:
Zijdes $CS:BS:BC = 1:\sqrt{3}:2$.
Dus $BS:BC = \sqrt{3}:2$, dus $BS = 3\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\frac{1}{2}$.
Er zijn ook andere manieren mogelijk. Je kunt bijvoorbeeld ook de verhoudingen van de gelijkvormige driehoeken SEC, SCB en SBA gebruiken.
Voor de oppervlakte hebben we de hoogte en breedte van de rechthoek nodig.
De hoogte is $BC = 3\sqrt{3}$ (zie toelichting bij opgave a).
De zijde is $AB$.
Kijk in driehoek $ABC$: dit is ook een $30\degree - 60\degree - 90\degree$-driehoek.
Dus $BC:AB:AC = 1:\sqrt{3}:2$.
Dat geeft: $3\sqrt{3} : AB = 1:\sqrt{3}$, dus $AB = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$.
Conclusie: $Opp. \ ABCD = AB \cdot BC = 9 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$.
6)
Jason kijkt vanaf ooghoogte (1,85 m) onder een bepaalde hoek, zijn kijkhoek, naar een boom in het bos. Hij staat 12 meter van de boom vandaan en de boom is in totaal 11,19 meter hoog.
Bereken de grootte van de kijkhoek van Jason. (2.3)
Uitwerking:
Maak eerst een eigen schets.
Let op: de driehoek waarin de kijkhoek zit, heeft als hoogte: de hoogte van de boom - de hoogte van Jason, dus 11,19 - 1,85 = 9,34 m.
We noemen de top van de boom T en het punt waar Jason zich bevindt J.
We hebben de overstaande en aanliggende zijde, dus gebruik tangens.
tan∠J=JBBT=129,34.
Dat geeft: ∠J=tan−1(129,34)≈38°.
Dus de kijkhoek is ongeveer 38 graden.
7)
Grachtenhuizen werden vaak met opzet scheef gebouwd zodat goederen konden worden opgetakeld zonder dat ze tegen de gevel aansloegen.
Hierboven zie je een foto van een grachtenhuis in Amsterdam met daarnaast een schets van de rechthoekige driehoek ABC met BC = 0,6 m en AB = 15 m.
Hoe scheef het huis staat, kun je aangeven met de verhouding $\frac{BC}{AB}$. Dit noemen we de helling van het huis. (2.5)
Bereken de helling van het bovenstaande huis.
Bereken hoeveel graden de hellingshoek bij A is. Rond je antwoord af op 2 decimalen en geef je berekening.
Een ander grachtenhuis heeft als horizontale afstand BC = 0,7 meter en hellingshoek $A= 2,51 \degree$. AB is de hoogte van het huis.
Bereken de hoogte van dit huis. Rond af op decimeters nauwkeurig.
Bewerkt naar: examen TL 2012-II.
Uitwerking:
De helling is, zoals in de tekst al is aangegeven, de verhouding (in feite de tangens):
$\frac{BC}{AB}$ =
$\frac{0,6}{15}$ =
$0,04$
Met de tangens:
$ \tan \angle A = \frac{BC}{AB}$
$\tan \angle A = \frac{0,6}{15}$
Dus $\angle A = \tan^{-1}(\frac{0,6}{15}) = 2,290… \approx 2,29 \degree$.
Maak een eigen schets:
De hoogte AB is de aanliggende zijde van hoek A.
$\tan \angle A = \frac{0,7}{AB}$
$\tan 2,51 \degree = \frac{0,7}{AB}$
Dat geeft: $AB = \frac{0,7}{\tan 2,51 \degree} = 15,97$
Dus het huis is 16,0 meter hoog (of: 160 dm).
8)
In kubus ABCD.EFGH met zijden van 5 cm is driehoek ACF getekend. Punt S is het snijpunt van de diagonalen AC en BD. Bereken ∠BSF. (2.5)
Bewerkt naar: examen TL 2016-II.
Uitwerking:
We gaan $\angle BSF$ berekenen in driehoek $SBF$.
Dan hebben we eerst de lengtes van twee zijdes nodig.
Schets nu $\triangle SBF$:
We weten de aanliggende zijde ($SB$) en de overstaande ($BF$), dus gebruik de tangens.
$\tan \angle BSF = \frac{BF}{BS}$
$\tan \angle BSF = \frac{5}{2\frac{1}{2}\sqrt{5}}$
$\angle S = \tan^{-1}(\frac{5}{2\frac{1}{2}\sqrt{5}})$
Dus $\angle BSF \approx 55 \degree$.
